История числа π выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром
d египетские математики определяли как
(d-d/9)²(эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число π считали равным дроби
(16/9)²; или
256/81, т.е. π =
3,160...
В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число π в то время принимали равным √10, что даёт дробь
3,162...
Древние греки
Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.
Архимед в III в. до н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:
- Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;
- Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;
- Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71.
Последнее предложение
Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя вычисления до периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96 сторономи. По точным расчётам
Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами
3 10/71 и
3 1/7, а это означает, что π =
3,1419... Истинное значение этого отношения
3,1415922653...
В V в. до н.э. китайским математиком
Цзу Чунчжи было найдено более точное значение этого числа:
3,1415927...
Впервой половине XV в. обсерватории
Улугбека, возле
Самарканда, астроном и математик
ал-Каши вычислил π с 16
десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошёл до многоугольника, имеющего 3*2
28 углов. Ал-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в
1'. Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии.
Спустя полтора столетия в Европе
Ф.Виет нашёл число π только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом
Ф.Виет первым заметил, что π можно отыскать, исользуя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить π с какой угодно точностью. Только через 250 лет после
ал-Каши его результат был превзойдён.
Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом π английский математик
У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "
periferia", что в переводе означает "
окружность". Введённое
У.Джонсоном обозначение стало обшеупотребительным после опубликования работ
Л.Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.
В конце XVIII в.
А.М.Лежандр на основе работ
И.Г.Ламберта доказал, что число π иррационально. Затем немецкий математик
Ф.Линдеман, опираясь на исследования
Ш.Эрмита, нашёл строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения. Из последнего следует, что с помощью только циркуля и линейки построить отрезок, равный по длине окружности,
невозможно, а следовательно, не существует решения задачи о квадратуре круга.
Поиски точного выражения продолжались и после работ
Ф.Виета. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна
Лудольф ван Цейлен (1540-1610) (некоторое историки его называют
Л. Ван Кейлен) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа π с 32 десятичными знаками получило название числа
Лудольфа.
К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин
Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа π. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что
Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.
После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления было найдено много формул, которые содержат число π. Некоторые из этих формул позволяют вычислить "пи" приёмами, отличными от метода
Архимеда и более рациональными. Например, к числу "пи" можно прийти, отыскивая пределы некоторых рядов. Так,
Г.Лейбниц (1646-1716) получил в 1674 г. ряд
1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... = π/4,
который дал возможность вычислить = π более коротким путём, нежели
Архимед. Всё же указанный ряд сходится очень медленно и поэтому требует довольно продолжительных расчётов. Для вычисления "пи" удобнее использовать ряд, получаемый от разложения
arctgx при значении
, при котором разложение функции arctg 1/√3 = π/6 в ряд даёт равенство
π/6 = 1/√3 [1 - 1/3*1/3 + 1/5 * (1/3)² - 1/7 * (1/3) ³ + ...],
т.е.
π = 2√3 [1 - 1/9 + 1/5 * (1/3) ² - 1/7 * (1/3) ³ + ...]
Частично суммы этого ряда можно вычислять по формуле
Sn+1 = Sn + (2√3)/(2n+1) * (-1/3)n,
при этом π будет ограничено двойным неравенством:
S2n < π < S2n+1
Ещё более удобную формулу для вычисления π получил Дж.Мачин. Пользуясь этой формулой, он вычислил π (в 1706 г.) с точностью до 100 верных знаков. Хорошее приближение для π даёт выражение
π √2 + √3
Однако следует помнить, что это равенство надо рассматривать как приближённое, т.к. правая часть его - число алгебраическое, а левая - трансцендентное, следовательно, эти числа равными быть не могут.
Как указала в своих статьях Э.Я.Бахмутская (60-ые годы XX столетия), ещё в XV-XVI вв. южноиндийские учёные, в том числе Нилаканта, пользуясь приёмами приближённых вычислений числа π, нашли способ разложения arctgx в степенной ряд, подобный ряду, найденному Лейбницем. Индийские математики дали словесную формулировку правил для разложения в ряды синуса и косинуса. Этим они предвосхитили открытие европейских математиков XVII в. Тем не менее их изолированные и ограниченные практическими потребностями вычислительные работы никакого влияния на дальнейшее развитие науки не оказали.
В наше время труд вычислителей заменили ЭВМ. С их помощью число π вычислено с точностью более миллиона знаков после запятой, причём эти вычисления продолжались только несколько часов.
В современной математике число π - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии, и формулу Л.Эйлера, которая устанавливает связь числа π и числа e следующим образом:
e2πi = 1, где i = √-1
Эта и другие взаимозависимости позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа π.
© greenmile
Источник: Crow.academy.Ru.
В начало
