Учебник | Число Эйлера (Е)

e — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

История

Число e впервые появилось в математике как нечто незначительное. Это случилось в 1618 г. В приложении к работе Джона Непера (Napier) по логарифмам была дана таблица натуральных логарифмов различных чисел. Однако никто не понял, что это логарифмы по основанию e, так как в понятие логарифма того времени такая вещь как основание не входила. Это сейчас мы называем логарифмом степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить требуемое число. Мы еще вернемся к этому позже. Таблица в приложении скорее всего была сделана Отредом (Ougthred), хотя автор ее не был указан. Через несколько лет, в 1624 г., в математической литературе снова появляется e, но опять-таки завуалированно. В этом году Бриггс (Briggs) дал численное приближение десятичного логарифма e, но само число e в его работе не упоминается.

Следующее появление числа e снова cомнительно. В 1647 г. Сен-Винсент (Saint-Vincent) вычислил площадь сектора гиперболы. Понимал ли он связь с логарифмами, остается только догадываться, но даже если понимал, то вряд ли он мог прийти к самому числу e. Только к 1661 г. Гюйгенс (Huygens) понял связь между равнобочной гиперболой и логарифмами. Он доказал, что площадь под графиком равнобочной гиперболы xy = 1 равнобочной гиперболы на промежутке от 1 до e равна 1. Это свойство делает e основанием натуральных логарифмов, но это не понимали математики того времени, однако они медленно приближались к этому пониманию.

Гюйгенс сделал следующий шаг в 1661 г. Он определил кривую, которую назвал логарифмической (в нашей терминологии мы будем называть ее экспоненциальной). Это кривая вида y = ka^x. И снова появляется десятичный логарифм e, который Гюйгенс находит с точностью до 17 десятичных цифр. Однако он возник у Гюйгенса как некая константа и не был связан с логарифмом числа (итак, снова подошли вплотную к e, но само число e остается неузнанным).

В дальнейших работах по логарифмам опять-таки число e не появляется в явном виде. Однако изучение логарифмов продолжается. В 1668 г. Никола Меркатор (Nicolaus Mercator) опубликовал работу Logarithmotechnia, которая содержит разложение в ряд log(1 + x). В этой работе Меркатор впервые использует название “натуральный логарифм” для логарифма по основанию e. Число e явно опять не появляется, а остается неуловимым где-то в стороне.

Удивительно, что число e в явном виде впервые возникает не в связи с логарифмами, а в связи с бесконечными произведениями. В 1683 г. Якоб Бернулли пытается найти


Он использует биномиальную теорему для доказательства того, что этот предел находится между 2 и 3, и это мы можем рассматривать как первое приближение числа e. Хотя мы принимаем это за определение e, это первый случай, когда число определяется как предел. Бернулли, конечно, не понял связи между своей работой и работами по логарифмам.

Ранее упоминалось, что логарифмы в начале их изучения никак не связывались с экспонентами. Конечно, из уравнения x = a^t мы находим, что t = log_ax, но это гораздо более поздний способ восприятия. Здесь мы в самом деле подразумеваем под логарифмом функцию, тогда как сначала логарифм рассматривался только как число, которое помогало в вычислениях. Возможно, Якоб Бернулли первым понял, что логарифмическая функция является обратной показательной. С другой стороны, первым, кто связал логарифмы и степени, мог быть Джеймс Грегори (Games Gregory). В 1684 г. он определенно осознал связь между логарифмами и степенями, но, возможно, он был не первым.

Мы знаем, что число e появилось в том виде, как сейчас, в 1690 г. Лейбниц в письме к Гюйгенсу использовал для него обозначение b. Наконец у eпоявилось обозначение (хотя оно не совпадало с современным), и это обозначение было признано.

В 1697 г. Иоганн Бернулли начинает изучение показательной функции и публикует Principia calculi exponentialum seu percurrentium. В этой работе вычисляются суммы различных экспоненциальных рядов, и получены некоторые результаты их почленным интегрированием.

Леонард Эйлер (Euler) ввел так много математических обозначений, что неудивительно, что обозначение e также принадлежит ему. Кажется смешным утверждение, что он использовал букву e из-за того, что это первая буква его имени. Вероятно, это даже не потому, что e взято от слова “exponential”, а просто это следующая гласная за “a”, а Эйлер уже использовал обозначение “a” в своей работе. Независимо от причины, обозначение впервые появляется в письме Эйлера Гольдбаху (Goldbach) в 1731 г. Он сделал много открытий, изучая e в дальнейшем, но только в 1748 г. в Introductio in Analysin infinitorum он дал полное обоснование всем идеям, связанным с e. Он показал, что


Эйлер также нашел первые 18 десятичных знаков числа e:


правда, не объясняя, как он их получил. Похоже, что он вычислил это значение сам. На самом деле, если взять около 20 членов ряда (1), то получится точность, которую получил Эйлер. Среди других интересных результатов в его работе приведена связь между функциями синус и косинус и комплексной показательной функцией, которую Эйлер вывел из формулы Муавра.

Интересно, что Эйлер нашел даже разложение числа e в непрерывные дроби и привел образцы такого разложения. В частности, он получил


Эйлер не привел доказательства, что эти дроби так же продолжаются, однако он знал, что если бы такое доказательство было, то оно доказывало бы иррациональность e. Действительно, если бы непрерывная дробь для (e - 1) / 2 , продолжалась так же, как в приведенном образце, 6,10,14,18,22,26, (каждый раз прибавляем по 4), то она никогда бы не прервалась, и (e -1) / 2 (а значит, и e) не могло бы быть рациональным. Очевидно, это первая попытка доказать иррациональность e.

Первым, кто вычислил довольно большое число десятичных знаков числа e, был Шенкс (Shanks) в 1854 г. Глейшер (Glaisher) показал, что первые 137 знаков, вычисленные Шенксом, были верными, однако далее нашел ошибку. Шенкс ее исправил, и было получено 205 десятичных знаков числа e. В действительности, нужно около 120 членов разложения (1), чтобы получить 200 верных знаков числа e.

В 1864 г. Бенджамен Пирс (Peirce) стоял у доски, на которой было написано


В своих лекциях он мог бы сказать своим студентам: “Джентльмены, мы не имеем ни малейшего представления, что бы это значило, но мы можем быть уверены, что это значит что-то очень важное”.

Большинство считает, что Эйлер доказал иррациональность числа e. Однако это сделал Эрмит (Hermite) в 1873 г. До сих пор остается открытым вопрос, является ли число e^e алгебраическим. Последний результат в этом направлении — это то, что по крайней мере одно из чисел e^e и e^e2является трансцендентным.

Далее вычисляли следующие десятичные знаки числа e. В 1884 г. Бурман (Boorman) вычислил 346 знаков числа e, из которых первые 187 совпали со знаками Шенкса, но последующие различались. В 1887 г. Адамс (Adams) вычислил 272 цифры десятичного логарифма e.

© J.J.Connor, E.F.Robertson. The number e.
для Www-history.mcs.st-andrews.ac.Uk;

Перевод статьи на русский: Hijos.Ru.

В начало

Учебник | Число Эйлера (Е)