Учебник | Двоичная система счисления
Двоичная система счисления - это позиционная система счисления, основанием которой служит число
2.
Человек научился считать с помощью пальцев. Десять пальцев были первым инструментом счета, в котором каждому загнутому пальцу соответствовал один предмет. Счет десятками (его со временем стали называть
десятичной системой счисления, или десятеричной) оказался настолько удобным, что живет до сих пор.
Всем нам десятичная система счисления знакома с детства. Мы знаем ее основу - ряд чисел от 0 до 9 - разряд единиц. Знаем, что разряды отличаются один от другого десятичным основанием. Эта система кажется нам и самой простой, и самой удобной.
Так считал и знаменитый французский ученый
Блез Паскаль, создавший
первую вычислительную машину. Механическое счетное колесо он сделал десятичным: в нем было десять зубьев. С тех пор в десятичной системе счет можно было осуществить не только вручную с помощью 10 пальцев, но и механически - с помощью 10 зубьев колеса.
Затем та же десятичная система перекочевала и в электромеханические счетные машины. В них был применен шаговый искатель с десятью позициями.
И первые электронные вычислительные машины пользовались все теми же десятью «пальцами» - десятью
триггерами. На десятичной системе счисления работала, например, машина
ЭНИАК. Но для нее требовалось столько дорогого оборудования, что конструкторы стали искать способы сокращения числа триггеров.
В основу поисков инженеры и математики положили двоичную двухпозиционную - природу элементов вычислительной техники.
Возьмите, к примеру, двухполюсный электронный прибор - диод. Он может находиться только в двух состояниях: или проводит электрический ток - «открыт», или не проводит его - «заперт». А триггер? Он тоже имеет два устойчивых состояния. По такому же принципу работают запоминающие элементы.
Почему же не использовать тогда двоичную систему счисления? Ведь в ней только две
цифры: 0 и 1. А это удобно для работы на электронной машине. И новые машины стали считать с помощью 0 и 1.
Не думайте, что двоичная система - современница электронных машин. Нет, она намного старше. Двоичным счислением люди интересуются давно. Особенно им увлекались с конца XVI до начала XIX века.
Готфрид Лейбниц считал двоичную систему простой, удобной и красивой. Он говорил, что «
вычисление с помощью двоек ... является для науки основным и порождает новые открытия ... При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок».
По просьбе ученого в честь «диадической системы» - так тогда называли двоичную систему - была выбита медаль. На ней изображал ась таблица с числами и простейшие действия с ними. По краю медали вилась лента с надписью: «Чтобы вывести из ничтожества все, достаточно единицы».
Потом о двоичной системе забыли. В течение почти 200 лет на эту тему не было издано ни одного труда. Вернулись к ней только в 1931 году, когда были продемонстрированы некоторые возможности практического применения двоичного счисления.
Эта система, как и десятичная, подчинена строгим законам. Но в десятичной за основание берется 10, а в двоичной - 2. В десятичной системе в каждом разряде - одна из десяти различных цифр, в двоичной только две.
Как записывают числа в двоичной системе
Чем меньше знаков-цифр в одном разряде для записи в двоичной системе, тем больше надо разрядов, чтобы представить данное число. Возьмем, например число 8. В двоичной системе для его представления понадобятся четыре разряда: 1000.
Теперь возьмем другую запись в двоичной системе - 1111. Самая правая, последняя цифра так и будет единицей. Но уже следующая высшего разряда - больше ее только в два раза и означает 2, третья опять в два раза больше - 4, четвертая соответственно – 8.
Попробуем записать какое-нибудь число, допустим 1017, в двоичной системе. Для этого, как и в десятичной системе, раскладываем его на разряды, но разряды здесь выглядят по-иному. Начнем с низшего, с 7. Поскольку в двоичной системе каждый разряд в два раза больше последующего, число 7 запишется суммой трех двоичных разрядов: 7=4+2+ 1 (1 в 2 раза меньше 2; 2 в 2 раза меньше 4). В числе 7 одна четверка, одна двойка, одна единица: 7=4+2+ 1. Эту запись можно сделать по другому: 1*2
2+ 1*2
1+ 1. Следовательно, в каждом из этих разрядов ставим по 1-111.
Затем идет число 10. Оно состоит из одной восьмерки и одной двойки: 10 = 8+2 = 1*2
3 + 0*2
2 + 1*2
1+ 0*2
0. Заметили, здесь нет разрядов единицы и четверок, поэтому вместо них мы ставим нули и записываем число так: 1010.
Так же можно разложить и все следующие разряды. Тогда все число 1017 запишется как 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 1= 1*2
9 + 1*2
8 + 1*2
7 + 1*2
6 + 1*2
5 + 1*2
4 + 1*2
3 + 0*2
2 + 0*2
1 + 1*2
0. Записываем по разрядам и получаем 1 111 111 001.
Основы двоичной системы, столь непривычной из-за традиции оперировать всегда и везде системой десятичной, мы знаем. Двоичной системой пользуются только
вычислительные машины. Машина пересчитывает нули и единицы с очень большой скоростью.
© greenmile
Источники:
Сhernykh.Net.
В начало
Учебник | Двоичная система счисления
